Espereu… Com se sap que π = 3,14159265…?

El número π, és sense dubte, la xifra més famosa de les matemàtiques. Però, de quina manera els matemàtics poden saber que aquest número irracional té aquest valor? En aquest article tenim l’objectiu d’explicar-vos 3 maneres d’arribar a aquesta xifra impressionant.

En primer lloc, mitjançant el mètode d’Arquímedes. Ateneu! <<Quants més costats té un polígon més s’assembla a una circumferència>>. I si fem ús d’aquesta observació per obtenir xifres del nombre pi? Més o menys, és el que va pensar Arquímedes, Zu Chongzhi i ara, ho podeu pensar vosaltres. A nivell pràctic, a partir d’un octàgon veiem que la relació entre el seu perímetre i el seu diàmetre és de 3.187587978.  Aquest número queda molt allunyat de π. Ara bé, amb 124 costats ja obtenim 3.14222477; aquest número coincideix en dos decimals, els més recurrents. Si apugem l’aposta amb un polígon de 1.024 costats, observem que el nostre pi equival a 3,14165311. Per últim, ens trobem que amb 1.048.576 costats obtenim el nombre 3,141592653592. Com heu vist, el resultat que s’obté és molt precís, però requereix de fer càlculs amb polígons amb més d’un milió de costats, i això… No és gaire pràctic.

En segon lloc, el mètode Montecarlo. Imagineu que tenim un quadrat. Perfecte, però no podria ser tan fàcil. Ara ho compliquem, imagineu-vos que inscriviu un cercle dintre d’aquest quadrat. Aleshores, si dividiu l’àrea del quadrat entre l’àrea del cercle sereu capaços de conèixer la proporció entre aquestes dues figures geomètriques. D’aquesta forma, podem calcular el nombre pi perquè els costats del quadrat i l’àrea del cercle esdevenen el quadrat del radi per π. Quin és l’inconvenient? Si ja tenim problemes per mesurar perímetres, la cosa es complica molt més si hem de calcular superfícies. Per tirar endavant l’empresa, utilitzem nombres aleatoris. Pensem que el quadrat és una diana amb un cercle inscrit, si llenceu dards d’una manera aleatòria, poc a poc, anireu aconseguint aquesta proporció observant els dards que hi ha en el seu interior i els que queden fora del cercle. Aquest és el millor exemple per entendre que estem calculant superfícies amb nombres aleatoris. Això sí, és necessari llençar un gran nombre de dards perquè això sigui cert. Doncs anem per feina, si calculem π utilitzant 50 dards, obtenim el nombre de 3,1932559. En canvi, si en llancem 10.000.000, obtenim que π = 3,14154988061. Per tant, aquest és l’inconvenient d’aquest mètode, que necessitem utilitzar una gran quantitat de nombres aleatoris per arribar a un resultat aproximat.

Acabem l’article amb el mètode utilitzat actualment per calcular més i més decimals de pi, l’ús de sèries. Normalment, si sumem un nombre infinit de números el resultat serà infinit, però de vegades passen coses increïbles, com per exemple, la suma dels inversos dels positius al quadrat. Espereu… Tranquils! No us ratlleu, Escrit ho veureu molt millor:

                                               1+1/22 +1/32 +1/42 …

La qüestió és que els matemàtics es van adonar que, contra més nombres d’aquests tipus sumeu, més s’aproxima a un resultat en concret. Esbrinar quin era aquest nombre concret va ser un dels problemes matemàtics de l’època, l’anomenat  “Problema de Basilea”. Va ser Leonhard Euler qui es va adonar que aquesta suma es dirigia cap a π 2/6. En resum, la idea és prendre el major nombre de números possible, multiplicar-los per 6 i després fer l’arrel quadrada, de tal forma que:

                                              √ 6 (1+1/22 +1/32 +1/42 …)  = π

Aquesta sèrie també necessita de nombres gegantins per arribar a bones xifres del nombre pi. Sumant els 100 primers termes obtenim les dues primeres xifres: 3,1320765. Amb 10.000 observem que π = 3.1415831043. I amb 100.000.000, π = 3.1415926449823. Tot i la monumentalitat de les xifres, avui dia una sèrie és molt més fàcil que sigui calculada per un dels nostres ordinadors. Per això, a l’actualitat, és el millor mètode que tenim per calcular aquesta classe de nombres.

Per acabar, aquesta no és l’única sèrie que desemboca en el nombre π, fins i tot n’hi ha d’altres alienes a la geometría. Aquesta és una de les coses més sorprenents del nombre π, que es fa present sense la necessitat de cercles.

                                                                                                                        Éric Fernández